GEOMETRÍA SAGRADA III

La Geometría Sagrada (3)

Continuación de La Geometría Sagrada (2)

14.- El pentágono y el triángulo áureos.
El pentágono regular da origen al triángulo áureo que es un triángulo isósceles con dos ángulos en la base que miden 72? y el ángulo opuesto 36?. A su vez, si la base del triángulo mide 1, sus otros dos lados están en proporción áurea y miden 1,6180339... (fig. 52)

Fig. 52 Triángulo áureo

Fig. 53 Trazos en proporción áurea en la estrella de cinco puntas.

Luego el pentágono da origen a la estrella de cinco puntas, la que es considerada una figura de gran contenido simbólico. Con una punta hacia arriba se considera una protección contra el mal y al contrario, cuando se ubica con dos puntas hacia arriba, un signo del mal, considerado como la supremacía de la materia sobre el espíritu. Además todos sus trazos se encuentran en la proporción áurea. Esto se ve en las relaciones de los trazos A, B, C y D (fig. 53)

En seguida podemos observar la existencia de tres tamaños de triángulos áureos insertos en la estrella de cinco puntas que se inscribe en el pentágono áureo. Cada uno mantiene la misma relación áurea entre la base del triángulo y cada uno de sus otros dos lados (fig. 54).

Fig. 54 Tres tamaños de triángulos inscritos en el pentágono áureo.

15.- La serie Fibonacci y la proporción áurea.
Para comprender la serie Fibonacci debemos primero definir lo que se entiende por una serie numérica. Esto no es otra cosa que una sucesión progresiva de números que sigue un patrón definido en su evolución. Por ejemplo la sucesión de números naturales, de números pares, de números impares, de números primos, etc.

No está muy claro cuál es el patrón de los primos: en realidad parece aleatorio, y la sucesión de los primos contiene secuencias aritméticas arbitrariamente largas. (teoremas recientes de Terence Mao, "premio Nobel" en matemáticas, año 2006)

En el caso de la serie Fibonacci, se trata de una sucesión infinita de números naturales que parten de 0 y luego el1, para continuar con la suma de los dos anteriores. Por lo tanto0+1=1, en seguida se suman los dos últimos, es decir1+1=2, para seguir con1+2=3, a continuación2+ 3=5, luego 3+5=8 y así hasta el infinito.

Si bien esta serie numérica primero fue descubierta por matemáticos de la India como Gopala alrededor del año 1135 y luego Hemachandra en 1150, que investigaron los patrones rítmicos que se formaban con notas o sílabas, su real dimensión nos ha llegado, en occidente, desde que fuera descrita y explicada por Leonardo de Pisa, también llamado Leonardo Fibonacci, un matemático italiano del siglo XIII.

Leonardo de Pisa la describió con el fin de resolver un problema que planteaba la cría de conejos, tratando de encontrar el patrón rítmico de nacimiento de éstos.

Más adelante fue descrita también por el matemático alemán Johannes Kepler en el siglo XVI. Y luego el matemático escocés Robert Simpson en 1753 descubrió la relación de dos números sucesivos de la serie Fibonacci con la proporción áurea, detectando que mientras más progresan éstos, más se aproxima su cociente al número de oro o divina proporción (fig.55).

Fig. 55 Serie Fibonacci y la razón áurea

En la fig. 49 tomamos el número inicial 0+1 = al número siguiente que en este caso es 1 y al sumar el 1 inicial con el 1 siguiente tenemos2, al sumar ambos tenemos3, luego al sumar estos dos números, llegamos a5, enseguida a8, después a 13 y así sucesivamente hasta el infinito.

A continuación, si dividimos el número siguiente por el número inicial de cada línea de la serie de la fig. 49 partimos con1,0, luego 2,0 y así sucesivamente. Como los resultados de estas divisiones nos dan un número con infinitos decimales, por razones prácticas los limitaremos a siete decimales, y así encontramos que los resultados se van aproximando paulatinamente al número que hemos descrito como número áureo con siete decimales Phi Ø = 1,6180339, lo que se logra cuando se llega a la división6765 : 4181. De ahí en adelante las divisiones que siguen tendrán siempre los mismos primeros 7 decimales hasta el infinito. Si hacemos lo mismo con tres decimales, este número PhiØ = 1,618, se estabiliza a partir de la división233 : 144.

En realidad, para cualquier número de decimales que nos demos de antemano, se observa que la sucesión de los cocientes llega a coincidir en esos decimales con el número Phi.

Ahora bien, si hacemos las divisiones a la inversa, es decir el número inicial dividido por el siguiente, es decir si en lugar de dividir10946 : 6765 = 1,6180338, dividimos6765 : 10946 = 0,6180339. Esto es la proporción áurea a la inversa, es decir si el tramo mayor mide 1 unidad, el tramo áureo menor medirá0,6180339.

Esta serie numérica la podemos encontrar en numerosas manifestaciones de la naturaleza:
. La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal.
. La relación entre la distancia entre las espirales del interior espiralado de cualquier caracol (no sólo del nautilus)
. La relación entre los lados de una estrella de cinco puntas o estrella de David.
. La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig).
. La distancia entre las espirales de una piña.
. La relación con el cociente entre el número de espirales horarias y antihorarias de una flor de girasol o maravilla.
. Las relaciones entre muchas partes corporales de los humanos y los animales:
. La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
. La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
. La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
. La relación entre las divisiones vertebrales.
. La relación entre las articulaciones de las manos y los pies.
Otro tanto ocurre con una gran cantidad de creaciones artísticas:
. Relaciones arquitectónicas en las Pirámides de Egipto.
. La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s. V a. C.).
. En los violines, la ubicación de las efes (los "oídos", u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.
. El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Da Vinci, entre otros.
. Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitrubio y en otras obras de Leonardo da Vinci.*
. En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Débussy (estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente) .
. Autores como Bártok, Messiaen, Stockhausen compusieron obras cuyas unidades formales se relacionan (a propósito) con el número áureo.
.
16.- La espiral áurea y la espiral Fibonacci.
La espiral es una de las figuras geométricas con mayor carga simbólica que se expresa en la geometría sagrada. Para comenzar estamos viviendo en una espiral, la galaxia. Esta figura que en teoría no tiene ni principio ni fin está presente en todo nuestro entorno natural, cultural y espiritual. Nuestro oído, con el que escuchamos, se desarrolla en forma de espiral, y también lo encontramos en los conos de los pinos, en algunos cuernos animales, en variadas plantas, en las conchas marinas, en el flujo natural del agua que se escurre por un desagüe, en el flujo de aire de los tornados y huracanes, simbolizando los ciclos de evolución de numerosos procesos, etc. Cada vuelta de la espiral representa un ciclo de evolución, ofreciendo una perspectiva cada vez más amplia e inclusiva. Si imaginamos la evolución como un patrón curvo, la espiral implica el concepto de crecimiento de esta evolución. En caso contrario si la curva vuelve al comienzo, nos encontramos atrapados en un proceso regresivo e involutivo.

Para los propósitos de configurar el tema de la geometría sagrada, distinguiremos dos tipos de espirales. Por un lado la espiral logarítmica (fig. 56), que es la que encontramos frecuentemente en la naturaleza y que se caracteriza por que sus brazos se incrementan en progresión geométrica. Luego está la espiral de Arquímedes (fig. 57), cuyos brazos lo hacen con distancias constantes.

Fig. 56 Espiral logarítmica

Fig. 57 Espiral de Arquímedes

Nos centraremos en la espiral logarítmica, cuya construcción se logra a partir del rectángulo áureo, cuyo lado menor es 1 y el mayor es 1,6180339 (fig. 58). Otra manera de hacerlo es a partir de la serie numérica Fibonacci aplicada a la diagonal de un cuadrado de lado 1 que crece en la secuencia de la serie Fibonacci: 1,1,2,3,5,8, 13.... (fig. 59).

Fig. 58 Espiral áurea

Fig. 59 Espiral Fibonacci.

Ambas espirales, si bien al partir tienen un patrón de desarrollo diferente, a medida que van gradualmente creciendo y alejándose de su centro, comienza a desaparecer la diferencia y se igualan cada vez más. Es decir ocurre algo equivalente a lo que ocurre cuando crece la serie Fibonacci, aproximándose cada vez más al número áureo.

Por otro lado las espirales se dividen en femeninas y masculinas, lo que dice relación con los dos tipos de energías que las construyen. La espiral masculina se expresa a través de las diagonales de los cuadrados que van girando en 90°. Esto ocurre tanto en los cuadrados que dan origen al rectángulo áureo para la espiral áurea (fig.60), como en la trama de cuadrados que dan origen a la espiral Fibonacci (fig. 61).

Fig. 60 Espiral áurea masculina

Fig. 61 Espiral Fibonacci masculina

La espiral femenina se va construyendo con el arco que queda conformado entre los trazos de estas diagonales y los círculos cuyos radios son el lado de los cuadrados que definen dichas diagonales. (figs. 62 y 63).

Fig. 62 Espiral áureo femenina

Fig. 63 Espiral Fibonacci femenina

Uno de las manifestaciones más características y evidentes de la espiral áurea es la concha del nautilus (fig. 64).

Fig. 64 Nautilus y la espiral áurea

17.- La espiral, el triángulo y el pentágono áureos.
Otra manera de trazar la espiral áurea es a partir del triángulo áureo, con dos ángulos de 72°en la base y uno de 36°en el extremo opuesto que se genera en el pentágono regular. Utilizando líneas paralelas del trazado de dicho triángulo y del pentágono en el cual se inscribe (fig. 65), se logra construir un secuencia de triángulos áureos que permiten trazar los círculos con centros en los puntos A, B, C y D, y cuyos arcos conforman esta nueva espiral áurea (fig 66).

Fig. 65 Trazado para construir sobre triángulos áureos

Fig. 66 Espiral triángulos áureos

18.- Consideraciones finales.
. A pesar de la extensión de este texto, hay que aclarar que cada uno de los temas que se han tocado son solamente el inicio. Se pueden profundizar y desarrollar mucho más allá de lo expuesto aquí.

. Lo sagrado puede considerarse como aquello que conecta al fenómeno individual con la creación toda y con su origen. En el caso de la geometría sagrada, se trata de un sistema simbólico específico que nos evidencia un universo (universo: una sola voz) construido con patrones semejantes desde lo más inmenso hasta lo más pequeño, desde lo global hasta lo más íntimo o personal, en una relación de completa correspondencia que nos llama a la reflexión.

. La Geometría es sagrada cuando expresa no sólo relaciones o proporciones físicas o abstractas, sino cuando expresa valores eternos referidos a la belleza, la verdad, o la incidencia de la luz sobre las formas (consciencia) , en su danza de radio y arco.

. Es importante comprender que todos estos temas no sólo deben comprenderse e incrementar la información que tiene nuestro disco duro, sino que debe alcanzar la dimensión de un trabajo práctico. Es decir que partiendo de la información expuesta, se puede comenzar por armarse de un compás, una escuadra, lápiz y papel, e iniciar nuestra propia investigación que nos llevará a transitar por caminos insospechados.

. Todo lo que ha sido expuesto puede y debiera imaginarse en tres dimensiones, lo que lo potencia aún más el significado esencial de lo que hasta ahora se ha visto.

. La profundizació n de esta práctica en cuanto a trabajo de dibujo tiene el potencial de aproximarse a lo que es un proceso de meditación. Un buen ejemplo es el dibujo de los mandalas (fig. 67), que en algunas circunstancias y con una práctica apropiada son un buen medio de introspección e incluso de sanación, al ser instrumentos de re-ligazón entre lo general y lo particular.

Semilla de la vida...Tercer día del Génesis...Vesica Piscis

Flor de la vida...Cubo metatrón...Laberinto de Chartres

Rueda del desierto...Escudo amarillo...Montañ a Sagrada

Fig. 67 Mandalas del artista Charles Gilchrist

Hernán Duval

Arquitecto y Pintor
hernanduval@ gmail.com
www.duval.cl

19.- Bibliografía de referencia:
. "Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes".- Matila C. Ghyka. Ed. Poseidon. 1977
. "El número de oro" I y II.- Matila C. Ghyka. Ed. Poseidon. 1968
. "La Divina Proporción.- Luca Pacioli. Ed. Akal S.A. 1991.
. "Geometría Sagrada, Descifrando el código".- Stephen Skinner. Ed. Gaia. 2007
. "Sacred Geometry".- Miranda Lundy. Ed. Walker & Compny, New York. 1998
. "El antiguo secreto de la Flor de la Vida".- Vol. 1 y 2, Drunvalo Melchizedek. Ed. Teohua, Mexico
. www.bibliotecapleya des.net/geometri a-sagrada
. www.charlesgilchris t.com
. www.georgehart. com